二次函数与等腰三角形存在性问题(等腰三角形存在性问题的解决步骤)

几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．

01

问题与方法

【问题描述】

如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．

【几何法】“两圆一线”得坐标

（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；

（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；

（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．

【注意】若有三点共线的情况，则需排除．

作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

C3、C4同理可求，下求C5．

显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：

而对于本题的C5，或许代数法更好用一些．

【代数法】表示线段构相等．

方法总结

几何法：

（1）两圆一线作出点；

（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．

代数法：

（1）表示出三个点坐标A、B、C；

（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；

（3）分类讨论①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；

（4）列出方程求解．

题型概括：

（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；

（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；

（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，为突破口．

02

“两定一动”类

2018泰安中考

【动点在对称轴上】

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c交x轴于点A（-4,0）、B（2,0），交y轴于点C（0,6），在y轴上有一点E（0,-2），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．

【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．

2019白银中考删减

【动点在斜线上】

如图，抛物线y=ax²+bx+4交x轴于A（-3,0），B（4,0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点P作PM⊥轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

2019盐城中考删减

【动点我以为在抛物线上其实还是在直线上】

如图所示，二次函数y=k（x-1）²+2的图像与一次函数y=kx-k+2的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k<0．

（1）求A、B两点的横坐标；

（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值．

03

“一定两动”类

2018贵港中考删减

【两动共线型】

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴相交于A（-1,0），B（3,0）两点，与y轴相交于点C（0，-3）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

2019眉山中考删减

【构造一线三等角】

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-4/9x²+bx+c经过点A（-5,0）和点B（1,0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN=∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．

04

“三动点”类

2019葫芦岛中考删减

【从特殊角入手】

如图，直线y=-x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=-x²+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒根号2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．

附：tan22.5°的求法．

半角或者二倍角的三角函数值均可如此构造．

写在最后

具体问题具体看，

不要想着一锅端．